IEEE 754二进制浮点算术标准

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1.科学记数法

IEEE 754 的开发者最终想到的方法是使用科学记数法的思想。

科学记数法是表示数字的标准方法，您可能熟悉以 10 为基数的科学记数法。

//简写±aen或±aEn
±a×10ⁿ

其中一个因数为 a（1≤|a|<10），另一个因数为 10ⁿ。例如：

3498523 = 3.498523×10⁶
−0.0432 = −4.32×10⁻²

同样的方法也适用于以 2 为基数的科学记数法。例如：

−6.84 = −1.71×2²
0.05 = 1.6×2⁻⁵

IEEE 二进制浮点算术标准 (IEEE 754) 是一种用二进制数的方式表示十进制浮点数的技术标准，由电气和电子工程师协会 (IEEE)于 1985 年制定。

(-1)^sign(1 + fraction)×2^{exponent-bias}

IEEE 754 有 3 个基本组成部分：

IEEE 754 基于以上三个组成部分分为两个：单精度和双精度。

TYPES	SIGN	EXPONENT	FRACTION	BIAS
Single precision	1(31st bit)	8(30-23)	23(22-0)	127
Double precision	1(63rd bit)	11(62-52)	52(51-0)	1023

假设我们希望把0.085(十进制)转换成单精度格式。

因为 0.085 是正数，所以sign = 0。

0.085 = (−1)⁰(1+fraction)×2^power
或
0.085/2^power = (−1)⁰(1+fraction)

0.085/2⁻¹ = 0.17
0.085/2⁻² = 0.34
0.085/2⁻³ = 0.68
0.085/2⁻⁴ = 1.36

所以，0.085 = (-1)⁰(1+0.36)×2⁻⁴

//0.36转换成二进制
0.010111000010100011110101110000101000111101011100001011

exponent=−4+127=123=01111011

然而，单精度格式只为我们提供 23 位来表示我们数字的小数部分。我们将不得不接受一个近似值，四舍五入到第 23 位数字。所以 IEEE 754 格式的 0.085 是：

0 01111011 01011100001010001111011

类似的双精度，只是用 2049 替换 255。

	非规范化	规范化	近似基数10
单精度	± 2 ^-149至 (1 – 2 ^-23 )×2 ^-126	± 2 ^-126至 (2 – 2 ^-23 )×2 ¹²⁷	± 约 10 ^-44.85至约 10 ^38.53
双精度	± 2 ^-1074至 (1 – 2 ^-52 )×2 ^-1022	± 2 ^-1022至 (2 – 2 ^-52 )×2 ¹⁰²³	± 约 10 ^-323.3至约 10 ^308.3

有五个不同的数字范围，单精度浮点数无法用迄今为止提出的方案表示：

溢出通常意味着值变得太大而无法表示。下溢是一个不太严重的问题，因为它只是表示精度的损失，它保证接近于零。

有限IEEE浮点数的总有效范围表如下所示：

	基数2	基数10
单精度	± (2 – 2^-23) × 2¹²⁷	大约 ±3.402823466385288598×10^38.53
双精度	± (2 – 2^-52)×2^¹⁰²³	大约 ±1.797693134862315708×10^308.25

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